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Esami universitari
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I quiz verteranno sui seguenti argomenti:
ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE Uguaglianza, somma, differenza, moltiplicazione per un numero reale, versore, prodotto scalare, componente scalare e vettoriale, verso positivo delle rotazioni e terne levogire, prodotto vettoriale, prodotto misto, doppio prodotto vettoriale, somma di un punto e di un vettore, l'equazione vettoriale , rappresentazione cartesiana ed operazioni elementari, limite e derivata di una funzione vettoriale, derivata di un vettore di modulo costante.
VETTORI APPLICATI Momento polare e assiale. Sistemi di vettori applicati: formula di trasposizione dei momenti, invariante scalare e vettoriale, asse centrale e proprietà, coppia di vettori applicati. Sistemi equivalenti: definizione e criteri; equivalenza ad un vettore e ad una coppia, ad un solo vettore, ad una sola coppia. Teorema di Varignon. Sistemi equivalenti a zero: definizione e criteri; equivalenza a zero di un sistema di due e di tre vettori applicati. Sistemi di vettori applicati concorrenti. Sistemi di vettori applicati paralleli: centro e proprietà, criterio di equivalenza a zero. Sistemi di vettori applicati complanari: operazioni elementari; costruzione del poligono funicolare nei casi ; ricerca grafica dell'asse centrale e del centro; condizioni grafiche di equivalenza a zero; scomposizione di un vettore nel piano secondo due e tre rette assegnate.
PROPRIETÁ GEOMETRICHE DEI SISTEMI MECCANICI Punto vincolato con vincolo semplice, doppio, triplo: gradi di libertà e parametri lagrangiani (necessità di far variare i parametri lagrangiani in intervalli aperti e carattere locale dei parametri lagrangiani). Sistemi vincolati: vincoli interni ed esterni; vincolo di rigidità; sistemi labili, isostatici, iperstatici; sistemi a vincoli inefficaci, e vari modi con cui si manifesta l'inefficacia dei vincoli; cambiamento di coordinate lagrangiane. Vincoli unilateri. Sistemi rigidi: spazio solidale, condizioni di rigidità; gradi di libertà; angoli di Eulero; corpo rigido vincolato con punto fisso (cerniera sferica), con asse fisso (cerniera cilindrica), con asse scorrevole (collare cilindrico); vincoli semplice, doppio, triplo, imposti a sistemi rigidi nel piano. Sistemi costituiti da parti rigide tra loro vincolate: cerniera mobile, carrello con cerniera; ricerca delle configurazioni geometricamente instabili. Arco a tre cerniere. Reazioni esplicate dai vincoli nello spazio e nel piano.
STATICA DEL PUNTO MATERIALE E DEI SISTEMI RIGIDI MATERIALI Vincoli fissi e mobili; definizione di equilibrio. Il problema fondamentale della statica del punto materiale; informazioni sul comportamento geometrico e meccanico dei vincoli; vincoli scabri e lisci, condizione di equilibrio del punto materiale; la statica e l'attrito: lo spettro delle configurazioni di equilibrio. Statica dei sistemi: forze interne ed esterne, condizioni puntuali di equilibrio, equazioni cardinali della statica e loro necessarietà e sufficienza per l'equilibrio. Condizioni pure di equilibrio di un corpo rigido con un punto fisso, asse fisso, asse scorrevole, appoggiato su un piano fisso, nel caso di vincoli lisci. Statica dei sistemi articolati, l'equilibrio del nodo. Sistemi staticamente determinati. Interpretazione grafica delle equazioni cardinali della statica. Calcolo grafico delle reazioni.
CINEMATICA DEL PUNTO Equazioni finite del moto ed equazioni parametriche della traiettoria; equazioni della traiettoria in forma intrinseca e legge oraria. Curve regolari e biregolari: versore tangente, normale principale e binormale; piano osculatore, cerchio osculatore, curvatura, la prima formula di Frenet. Scomposizione intrinseca della velocità e dell'accelerazione. Moto armonico semplice e smorzato: equazione differenziale caratteristica, equazione oraria, proprietà. I problemi fondamentali della cinematica del punto, integrali primi di moto. Rappresentazione cartesiana e lagrangiana del moto e della velocità del punto, soggetto a vincoli fissi o mobili. Spostamento elementare effettivo, relativo, di trascinamento, virtuale, virtuale reversibile. Vincolo olonomo ed anolonomo; sistema olonomo.
IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI E LA STATICA Enunciato del principio dei lavori virtuali; relazione simbolica della statica; equazione simbolica della statica e sufficienza della stessa per la soluzione del problema statico; componenti lagrangiane della sollecitazione attiva; il calcolo delle reazioni vincolari con l'equazione simbolica della statica. Campo di forza conservativo: definizione, condizione sufficiente perché un campo di forza sia conservativo, proprietà di un campo di forza conservativo e calcolo della funzione potenziale. Principio di stazionarietà della funzione potenziale, principio di Torricelli, equilibrio stabile ed instabile, i criteri di Dirichlet e di Liapunov.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI. APPLICAZIONI DEL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Enunciato del teorema di Poisson e significato fisico del vettore formula generalizzata di Poisson; formula fondamentale della cinematica dei rigidi; atto di moto traslatorio, rotatorio, elicoidale; asse di Mozzi e proprietà; teorema di Mozzi; rigate di un moto rigido; accelerazione di un punto in un moto rigido. Lavoro di una sollecitazione per uno spostamento elementare rigido. I vincoli di rigidità sono lisci. Condizioni di equilibrio pure per il corpo rigido, ritrovate con l'equazione simbolica della statica.
CINEMATICA RELATIVA. MOTO RIGIDO PIANO Teorema di composizione delle velocità e delle accelerazioni; manovellismo a glifo oscillante. Definizione di moto rigido piano e relativo teorema; centro di istantanea rotazione e teorema di Chasles; traiettorie polari e descrizione geometrica del moto; equazioni parametriche della base e della rulletta, ricavate in base alla conoscenza del centro d'istantanea rotazione; coppie di profili coniugati e proprietà. Vincolo di rotolamento senza strisciamento. Studio cinematico grafico di alcuni manovellismi.
DINAMICA PUNTO MATERIALE Osservatore inerziale, principio di relatività galileiana; equazione fondamentale della dinamica del punto materiale; meccanica relativa, forze apparenti, equazione fondamentale della meccanica terrestre; statica relativa; teorema delle forzevive, integrale primo dell'energia meccanica. Dinamica del punto materiale vincolato ad una curva fissa (liscia o scabra), ad una superficie fissa (liscia o scabra). L'equilibrio come particolare soluzione dell'equazione. Principio di D'Alembert.
GEOMETRIA DELLE MASSE Centro di massa e proprietà. Momenti di secondo grado e proprietà; raggio d'inerzia; teorema di Huygens. Ellissoide d'inerzia, assi principali d'inerzia e loro proprietà geometrico-materiali, la ricerca degli assi principali d'inerzia.
CINEMATICA DELLE MASSE Quantità di moto, momento delle quantità di moto, energia cinetica, teorema del centro di massa. Moto relativo al centro di massa, teorema di Konig. Le grandezze T e K(O) nel caso dei moti rigidi.
QUESTIONI GENERALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI OLONOMI Forze interne ed esterne. Equazioni puntuali di equilibrio dinamico: necessarietà e sufficienza. Equazioni cardinali della dinamica nella prima e nella seconda forma: necessarietà e sufficienza. Teorema del moto del centro di massa. I vettori caratteristici della sollecitazione d'inerzia. Principio di D'Alembert. L'integrale primo di conservazione della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Teorema delle forze vive e integrale primo dell'energia meccanica. Equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange di seconda specie nella prima e nella seconda forma; integrale primo della variabile ignorata. Equazione differenziale pura dei moti di un corpo rigido con asse fisso e liscio; i cimenti dinamici; l'albero dinamicamente equilibrato. I piccoli moti nell'intorno della configurazione di equilibrio stabile.
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